Presa baten apurketaren ekuazioak: zenbakizko metodoen bidezko hurbilpena

Abstract

Laburpena: ekuazio diferentzialak erabiltzen dira gure inguruneko fenomeno asko deskribatzeko. Ekuazio diferentzialetan funtzio ezezagun baten aldaketak (hau da, deribatuak) agertzen dira, eta helburua ekuazioa betetzen duen funtzioa aurkitzea izaten da.

Beraien konplexutasuna dela eta, gehienetan, ez da posible izaten emaitza zehatza edo analitikoa kalkulatzea. Ondorioz, metodo matematiko ugari sortu izan dira ekuazio diferentzialen emaitza hurbilduak kalkulatzeko. Metodo horiei zenbakizko metodo deritze, eta lan honetan zehar horietako batzuk aztertu eta landu dira.

Ekuazio diferentzialak ingeniaritza zibileko alorrean ere erabiliak dira. Lan honetan ekuazio diferentzialen bidez deskribatutako ingeniaritza zibileko problema batzuk aurkezten eta garatzen dira. Helburuak honako hauek izan dira:

Ekuazio diferentzialak ebazteko zenbakizko metodoak ulertzea eta aplikatzea. Ekuazio diferentzialen bidez deskribatutako ingeniaritza zibileko problema bat ebaztea. Zehazki, presa baten apurketaren ondorioz uraren fluxuak duen portaera aztertu da.

Aipatutako helburuak lortzeko zenbait pauso jarraitu dira. Lehendabizi, aldagai bakarraren menpekotasuna duen problema lineala aztertu eta ebatzi da. Zehazki, espazioan dimentsio bakarrekoa den problema ebatzi da. Jarraian, espazioan dimentsio bakarrekoa izanik denborarekiko menpekotasuna duen problema lineala ulertu eta ebatzi da. Bukatzeko, presa baten apurketaren osteko fluxuaren jarrera aztertu da. Fenomeno hori Saint-Venant-en ekuazioek definitzen dute. Bi ekuazio diferentzialek osatzen dute problema. Espazioan dimentsio bakarrekoak dira, denborarekiko menpekotasuna dute eta problema ez-lineala da.

Resumen: se utilizan ecuaciones diferenciales para describir muchos fenómenos de nuestro entorno. En las ecuaciones diferenciales, aparecen derivadas de la función incógnita y el objetivo suele ser hallar la función que satisface dicha ecuación.

Dada su complejidad, en la mayor parte de los casos no suele ser posible encontrar el resultado exacto o analítico de éstas. Por este motivo, se han desarrollado diversos métodos matemáticos para obtener los resultados aproximados de las ecuaciones diferenciales. A estos métodos se los conoce como métodos numéricos y algunos de ellos han sido estudiados y tratados en este trabajo.

Las ecuaciones diferenciales son utilizadas también en el campo de la ingeniería civil. En este trabajo se presentan y desarrollan varios problemas de ingeniería civil descritos mediante ecuaciones diferenciales. Los objetivos han sido los siguientes:

Entender y aplicar métodos numéricos para la resolución de ecuaciones diferenciales. Resolver un problema de la ingeniería civil descrito mediante ecuaciones diferenciales. Específicamente, se ha estudiado el comportamiento del flujo del agua tras la rotura de una presa.

Para conseguir estos objetivos se han seguido varios pasos. En primer lugar, se ha analizado y resuelto un problema lineal dependiente de una sola variable. Más específicamente, se ha resuelto un problema unidimensional en espacio. A continuación, se ha comprendido y resuelto un problema lineal unidimensional que depende del tiempo. Finalmente, se ha analizado el comportamiento del flujo del agua a causa de la rotura de una presa. Este fenómeno viene definido por las ecuaciones de Saint-Venant. El problema lo completan dos ecuaciones diferenciales, siendo estas unidimensionales y dependientes del tiempo, que constituyen un problema no-lineal.

Abstract: differential equations are used to describe several phenomena of our environment. Differential equations consist in the derivatives of an unknown function, and the objective is to find the function that satisfies such equation.

Due to their complexity, it is not in general possible to find an exact or analytic solution for these equations. For this reason, several mathematical methods have been developed in order to obtain an approximation of the solutions of differential equations.

Differential equations are also used in the field of civil engineering. In this project, some civil engineering problems described by differential equations are shown and developed. The objectives have been the following ones:

To understand and apply numerical methods on the resolution of differential equations. To solve a problem related to civil engineering described by differential equations. Specifically, the flux of the water after a dam-break has been analysed.

In order to achieve these objectives, the following steps have been followed. On the first place, a linear problem that depends on a single variable has been analysed and solved. Specifically, an unidimensional problem has been solved. Secondly, an unidimensional time-dependent linear problem has been understood and solved. Finally, the behaviour of the flux after a dam-break has been studied. This phenomenon is described by Saint-Venant equations, which are two unidimensional and time-dependent equations that define a non-linear problem.